【题目】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M,N分别为棱DD1,AB,BC的中点.
(1)求二面角B1-MN-B的正切值.
(2)求证:PB⊥平面MNB1.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】试题分析:(1)由平面DD1B1B⊥平面ABCD,得AC⊥平面DD1B1B,故可得MN⊥平面DD1B1B,所以B1F⊥MN,BF⊥MN,可得∠B1FB即为二面角B1-MN-B的平面角,在Rt△B1FB中, 可得tan∠B1FB=2.(2)过点P作PE⊥AA1,则PE∥DA, 由DA⊥平面ABB1A1,得PE⊥平面ABB1A1,所以PE⊥B1M,又BE⊥B1M, 所以B1M⊥平面PEB,从而PB⊥MB1,又PB⊥MN,所以PB⊥平面MNB1.
试题解析:
(1)连接BD交MN于F,连接B1F,连接AC.
因为平面DD1B1B⊥平面ABCD,交线为BD,AC⊥BD,
所以AC⊥平面DD1B1B,
又因为AC∥MN,
所以MN⊥平面DD1B1B.
因为B1F,BF平面DD1B1B,
所以B1F⊥MN,BF⊥MN,
因为B1F平面B1MN,BF平面BMN,
所以∠B1FB即为二面角B1-MN-B的平面角,
在Rt△B1FB中,设B1B=1,则FB=,
所以tan∠B1FB=2.
故二面角B1-MN-B的正切值为2.
(2)过点P作PE⊥AA1,则PE∥DA,连接BE.
又DA⊥平面ABB1A1,
所以PE⊥平面ABB1A1,
因为B1M平面ABB1A1,
所以PE⊥B1M,
又BE⊥B1M, PE∩BE=E,
所以B1M⊥平面PEB.
所以PB⊥MB1.
由(1)中MN⊥平面DD1B1B,得PB⊥MN,
又MB1∩MN=M,
所以PB⊥平面MNB1.
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【题目】据四川省民政厅报告,2013年6月29日以来,四川省中东部出现强降雨天气过程,局地出现大暴雨.暴雨洪涝灾害已造成遂宁、德阳、绵阳等12市34县(市、区)244万人受灾,共造成直接经济损失85502.41万元.适逢暑假,小王在某小区调查了50户居民由于洪灾造成的经济损失,将收集的数据分成[0,2000],(2000,4000],(4000,6000],(6000,8000],(8000,10000]五组,并作出频率分布直方图(如图).
(1)若先从损失超过6000元的居民中随机抽出2户进行调查,求这2户不在同一小组的概率;(2)洪灾过后小区居委会号召小区居民为洪灾重灾区捐款,小王调查的50户居民的捐款情况如表,在表格空白处填写正确的数字,并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关?
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附:临界值表参考公式:K2=.
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【题目】【2017届广东省深圳市高三下学期第一次调研考试(一模)数学理】已知函数为自然对数的底数.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)关于的不等式在上恒成立,求实数的值;
(3)关于的方程有两个实根,求证:.
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【题目】已知等比数列{an}满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.
(1) 求{an}的通项公式;
(2) 求证:++…+<1对任意正整数m都成立.
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【题目】【2017届陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟考试数学(理)】已知函数,其中常数.
(Ⅰ)讨论在上的单调性;
(Ⅱ)当时,若曲线上总存在相异两点,使曲线在两点处的切线互相平行,试求的取值范围.
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【题目】已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和.
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【题目】随着人们经济收入的不断增长,个人购买家庭轿车已不再是一种时尚.车的使用费用,尤其是随着使用年限的增多,所支出的费用到底会增长多少,一直是购车一族非常关心的问题.某汽车销售公司做了一次抽样调查,并统计得出某款车的使用年限 (单位:年)与所支出的总费用 (单位:万元)有如下的数据资料:
使用年限 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
总费用 | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
若由资料知对呈线性相关关系.
(1)试求线性回归方程= +的回归系数,;
(2)当使用年限为年时,估计车的使用总费用.
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【题目】某大学的名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名,分乘甲、乙两辆汽车.每车限坐名同学(乘同一辆车的名同学不考虑位置),其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的名同学中恰有名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有_______种(有数字作答).
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