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已知函数f(x)=log|sinx|.

(1)求其定义域和值域;

(2)判断其奇偶性;

(3)求其周期;

(4)写出单调区间.

 

【答案】

(1)函数定义域为{xR|xkπ,kZ},函数的值域为[0,+∞).

(2)f(x)为偶函数(3)T=π(4) f(x)的单调增区间是 (kZ),

单调减区间是 (kZ)

【解析】(1)由|sinx|>0得sinx≠0,∴xkπ(kZ).

即函数定义域为{xR|xkπ,kZ}.

又0<|sinx|≤1,∴log|sinx|≥0.

∴函数的值域为[0,+∞).

(2)∵f(x)的定义域关于原点对称,

f(-x)=log|sin(-x)|=log|-sinx|

=log|sinx|=f(x).

f(x)为偶函数.

(3)函数f(x)是周期函数,

f(x+π)=log|sin(x+π)|=log|-sinx|

=log|sinx|=f(x),

f(x)的周期T=π.

(4)∵y=logu在(0,+∞)上是减函数,

u=|sinx|在 (kZ)上是增函数,

 (kZ)上是减函数.

f(x)在 (kZ)上是增函数,

 (kZ)上是减函数.

f(x)的单调增区间是 (kZ),

单调减区间是 (kZ).

 

 

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