Question

如图，在五面体EF-ABCD中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=l，AD=2，∠BAD=∠CDA=45°．
①求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
②证明：CD⊥平面ABF；
③求二面角B-EF-A的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点E，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．
（Ⅱ）根据线面垂直的判定定理可知，只需证直线CD与面ABF中的两条相交直线垂直即可；
（Ⅲ）先作出二面角的平面角，再在直角三角形中求出此角即可．
解答：（Ⅰ）解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED．
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．
因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD．故ED⊥CD．
在Rt△CDE中，CD=1，ED=，
CE==3，故cos∠CED==．
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为；

（Ⅱ）证明：过点B作BG∥CD，交AD于点G，
则∠BGA=∠CDA=45°．由∠BAD=45°，可得BG⊥AB，
从而CD⊥AB，又CD⊥FA，FA∩AB=A，所以CD⊥平面ABF；

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G为AD的中点．
取EF的中点N，连接GN，则GN⊥EF，
因为BC∥AD，所以BC∥EF．
过点N作NM⊥EF，交BC于M，
则∠GNM为二面角B-EF-A的平面角．
连接GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM．
从而BC⊥GM．由已知，可得GM=．
由NG∥FA，FA⊥GM，得NG⊥GM．
在Rt△NGM中，tan，
所以二面角B-EF-A的正切值为．
点评：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．