Question

8．设当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则f（x）的最大值是$\sqrt{5}$，cosθ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 利用辅助角公式化简函数的解析式为f（x）=$\sqrt{5}$sin（x-α），其中，cosα=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，sinα=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，由此求得f（x）的最大值以及θ的值．

解答 解：函数f（x）=sinx-2cosx=$\sqrt{5}$（$\frac{1}{\sqrt{5}}$sinx-$\frac{2}{\sqrt{5}}$cosx）=$\sqrt{5}$sin（x-α），其中，cosα=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，sinα=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
故当x=2kπ+α+$\frac{π}{2}$，k∈z时，函数取得最大值为$\sqrt{5}$，此时x=θ=2kπ+α+$\frac{π}{2}$，k∈z，∴cosθ=-sinα=-$\frac{2}{\sqrt{5}}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$；-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查辅助角公式、诱导公式的应用，属于基础题．