。
(Ⅰ)求的极值点;
(Ⅱ)当时,若方程
在
上有两个实数解,求实数t的取值范围;
(Ⅲ)证明:当时,
。
(Ⅰ)①时,
, ∴
在(-1,+∞)上是增函数,函数既无极大值点,也无极小值点;②当
时,
在
上递增,在
单调递减,函数的极大值点为
-1,无极小值点;③当
时,
在
上递减,在
单调递增,函数的极小值点为
-1,无极大值点;(Ⅱ)当
时,方程
有两解;(Ⅲ)详见解析.
解析试题分析:(Ⅰ)求的极值点,先求函数的定义域为
,然后可对函数
求导数得
,令导数等零,求出
的解,再利用导数大于0,导数小于0,判断函数的单调区间,从而确定极值点,但本题由于含有参数
,需对
讨论(Ⅱ)当
时,若方程
在
上有两个实数解,求实数t的取值范围,由(Ⅰ)知,
在
上单调递增,在
上单调递减,而
,由此可得实数t的取值范围;(Ⅲ)根据要证明当
时,
,直接证明比较困难,可以利用分析法来证明本题,从结论入手,要证结论只要证明后面这个式子成立,两边取对数,构造函数,问题转化为只要证明函数在一个范围上成立,利用导数证明函数的性质.
试题解析:(Ⅰ)(1分)
①时,
, ∴
在(-1,+∞)上是增函数,函数既无极大值点,也无极小值点。(2分)
②当时,
在
上递增,在
单调递减,函数的极大值点为
-1,无极小值点(3分)
③当时,
在
上递减,在
单调递增,函数的极小值点为
-1,无极大值点(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在
上单调递增,在
上单调递减,
又,
∴,∴当
时,方程
有两解 (8分)
(Ⅲ)要证:只须证
只须证:,
设
则,(10分)
由(1)知在
单调递减,(12分)
∴,即
是减函数,而m>n,
∴,故原不等式成立。 (14分)
考点:不等式的证明;利用导数研究函数的单调性.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,
.
(1)若,则
,
满足什么条件时,曲线
与
在
处总有相同的切线?
(2)当时,求函数
的单调减区间;
(3)当时,若
对任意的
恒成立,求
的取值的集合.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=2ax--(2+a)lnx(a≥0)
(Ⅰ)当时,求
的极值;
(Ⅱ)当a>0时,讨论的单调性;
(Ⅲ)若对任意的a∈(2,3),x1,x2∈[1,3],恒有成立,求实数m的取值范围。
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