Question

若关于x的方程cos2x+4asinx+a-2=0在区间[0，π]上有两个不同的解，则实数a的取值范围是

{a|

3

5

＜a≤1，或 a=

1

2

}

．

Answer 1

分析：设t=sinx，则t∈[0，1]，由题意可得，关于t的方程 2t²-4at+1-a=0在（0，1）上有唯一解，或t=0，故有①
f（0）f（1）＜0，或②若

△=16a 2+8a-8=0 0＜a＜1

，或③t=0，分别求出实数a的取值范围，再取并集，即得所求．

解答：解：于x的方程cos2x+4asinx+a-2=0 即 2sin²x-4asinx+1-a=0．
由于x∈[0，π]，故 sinx∈[0，1]，设t=sinx，则t∈[0，1]，2t²-4at+1-a=0．
由于（0，1）内的一个t值对应了（0，π）内的2个x值，
则由题意可得，关于t的方程f（t）=2t²-4at+1-a=0在（0，1）上有唯一解，或t=0．
①若f（0）f（1）=（1-a）（3-5a）＜0，解得

3

5

＜a＜1．
②若

△=16a 2+8a-8=0 0＜a＜1

，则解得a=

1

2

．
③若t=0，则由 2t²-4at+1-a=0可得 a=1．
综上，可得实数a的取值范围是{a|

3

5

＜a≤1，或 a=

1

2

}，
故答案为 {a|

3

5

＜a≤1，或 a=

1

2

，}．

点评：本题考查同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．