Question

3．已知函数f（x）=2x+$\frac{a}{x}$（a∈R）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
（2）根据函数单调性的定义进行求解即可．

解答 解：（1）函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
则f（-x）=-2x-$\frac{a}{x}$=-（2x+$\frac{a}{x}$）=-f（x），则函数f（x）是奇函数．
（2）设2≤x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=2x₁-2x₂+$\frac{a}{{x}_{1}}$-$\frac{a}{{x}_{1}}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（2{x}_{1}{x}_{2}-a）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，
∴2x₁x₂-a＞0，
∴a＜2x₁x₂，则a≤8．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，利用定义法是解决本题的关键．