Question

（文）如图，在单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在线段AD₁上运动，给出以下四个命题：
①异面直线A₁P与BC₁间的距离为定值；
②三棱锥D-BPC₁的体积为定值；
③异面直线C₁P与直线CB₁所成的角为定值；
④二面角P-BC₁-D的大小为定值．其中真命题有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：对于①由题意及三棱锥的体积的算法中可以进行顶点可以轮换性求解体积，和点P的位置及直线AD₁与平面BDC₁的位置即可判断正误；
对于②三棱锥的底面DBC₁为定值，判断P到平面DBC₁的距离是否是定值，即可判断正误；
对于③由题意及图形利用异面直线所成角的概念及求异面直线间的方法及可求解；
对于④由题意及平面具有延展性可知实质为平面ABC₁D₁与平面BDC₁所成的二面角；

解答：解：对于①三棱锥D-BPC₁的体积还等于三棱锥的体积P-DBC₁的体积，而平面DBC₁为固定平面且大小一定，又因为P∈AD₁，而AD₁∥平面BDC₁，所以点A到平面DBC₁的距离即为点P到该平面的距离，所以三棱锥的体积为定值，所以①正确；
对于②三棱锥的底面DBC₁为定值，因为AD₁∥BC₁，所以AD₁∥平面DBC₁，P?AD₁，所以P到平面DBC₁的距离是定值，所以三棱锥D-BPC₁的体积为定值；
故②正确；
对于③因为在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在线段AD₁上运动，有正方体及题意易有B₁C⊥平面ABC₁D₁，而C₁P?平面ABC₁D₁，所以B₁C⊥C₁P，故这两个异面直线所成的角为定值90°，故③正确；
对于④因为二面角P-BC₁-D的大小，实质为平面ABC₁D₁与平面BDC₁所成的二面角，而这两个平面为固定的不变的平面所以夹角也为定值，故④正确；
故选D．

点评：本题重点考查了异面直线所成角的概念及求异面直线间的方法；平面具有延展性及二面角的求法及其定义；三棱锥的体积的体积计算可以进行顶点轮换及线面平行时，直线上任意一点到平面的距离都行等这一结论；考查计算能力，空间想象能力．