Question

本题共有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则以所做的前2题计分．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e1=

1 1

，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15）．求矩阵M．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是

x=2+2sinα y=2cosα

（α是参数）．
现以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，写出曲线C的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
解不等式|2x+1|-|x-4|＞2．

Answer 1

分析：（1）设出M=

a b c d

，则根据二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e1=

1 1

得到关于a，b，c，d的方程

a+b=3 c+d=3.

再根据矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15），又可得到关于a，b，c，d的方程

-a+2b=9 -c+2d=15.

组成四元一次方程组即可求解
（2）先消去参数得出曲线C的直角坐标方程再结合：x²+y²=ρ²，y=ρcosθ写出曲线C的极坐标方程为即可；
（3）令y=|2x+1|-|x-4|，通过分类讨论写出：y=

-x-5，x≤- 1 2 3x-3，- 1 2 ＜x＜4 x+5，x≥4

，作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象观察图象得到|2x+1|-|x-4|＞2的解集．

解答：解：（1）解：设M=

a b c d

，则

a b c d

1 1

=3

1 1

=

3 3

，故

a+b=3 c+d=3.

（3分）

a b c d

-1 2

=

9 15

，故

-a+2b=9 -c+2d=15.

（5分）
联立以上两方程组解得a=-1，b=4，c=-3，d=6，故M=

-1 4 -3 6

．（7分）
（2）解：曲线C的直角坐标方程是（x-2）²+y²=4，（3分）
因为x²+y²=ρ²，y=ρcosθ，（5分）
故曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．（7分）
（3）解：令y=|2x+1|-|x-4|，则y=

-x-5，x≤- 1 2 3x-3，- 1 2 ＜x＜4 x+5，x≥4

（3分）
作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象，
它与直线y=2的交点为（-7，2）和(

5

3

，2)（6分）
所以|2x+1|-|x-4|＞2的解集为(-x，-7)∪(

5

3

，+x)（7分）

点评：本小题主要考查几种特殊的矩阵变换、简单曲线的极坐标方程、圆的参数方程、绝对值不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．