Question

已知，如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P—BCG的体积为．
（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成的角；
（Ⅱ）求点D到平面PBG的距离；
（Ⅲ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．

Answer 1

见解析

解法一：  （I）由已知

∴PG=4
如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系
o—xyz，则
B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）
故E（1，1，0）

   ∴异面直线GE与PC所成的角为arccos
（II）平面PBG的单位法向量

∴点D到平面PBG的距离为
（III）设F（0，y , z）

在平面PGC内过F点作FM⊥GC，M为垂足，则
解法二：
（I）由已知  
∴PG=4
在平面ABCD内，过C点作CH//EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角.
在△PCH中，
由余弦定理得，cos∠PCH=，∴异面直线GE与PC所成的角为arccos
（II）∵PG⊥平面ABCD，PG平面PBG ∴平面PBG⊥平面ABCD
在平面ABCD内，过D作DK⊥BG，交BG延长线于K，
则DK⊥平面PBG ∴DK的长就是点D到平面PBG的距离

在△DKG，DK=DGsin45°=  ∴点D到平面PBG的距离为
（III）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC
∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM
由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD ∴FM//PG
由GM⊥MD得：GM=GD·cos45°=