Question

已知圆M的参数方程为x²+y²-4Rxcosα-4Rysinα+3R²=0（R＞0）．
（1）求该圆的圆心的坐标以及圆M的半径．
（2）若题中条件R为定值，则当α变化时，圆M都相切于一个定圆，试写出此圆的极坐标方程．

Answer 1

分析：（1）已知圆M的参数方程为x²+y²-4Rxcosα-4Rysinα+3R²=0，对其进行配方化为圆的一般形式，从而求解．
（2）当α变化时，因

(2Rcosα)2+(2Rsinα)2

=2R=3R-R，讨论内切还是外切，从而求解．

解答：解：（1）依题意得圆M的方程为（x-2Rcosα）²+（y-2Rsinα）²=R²，
故圆心的坐标为M（2Rcosα，2Rsinα）半径为R．
（2）当α变化时，因

(2Rcosα)2+(2Rsinα)2

=2R=3R-R，
所以所有的圆M都和定圆x²+y²=9R²内切，此圆极坐标方程为p=3R；
又因

(2Rcosα)2+(2Rsinα)2

=2R=R+R，所以所有的圆M都和定圆x²+y²=R²外切，
此圆极坐标方程为p=R；

点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．