Question

一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M，G分别是AB，DF的中点．

（Ⅰ）求该多面体的体积与表面积；
（Ⅱ）请在棱AD上确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明．

Answer 1

考点：由三视图求面积、体积,直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）关键三视图判断直三棱柱的侧棱长，底面直角三角形的直角边长，求出斜边长，把数据代入棱柱的表面积公式与体积公式计算；
（II）当点P与点A重合时，取DC的中点H，连接GH，AH，利用证明平面GAH∥平面FCM，来证AG∥平面FMC．

解答： 解：（Ⅰ）几何体为直三棱柱，且直三棱柱的侧棱长为3，底面三角形为直角三角形，直角边长分别为1、2，斜边长为

5

，
∴体积V=

1

2

×1×2×3=3，
表面积 S=2×

1

2

×2×1+1×3+2×3+3×

5

=11+3

5

；
（Ⅱ）当点P与点A重合时，取DC的中点H，连接GH，AH，
∵G为DF的中点，∴GH∥FC，∴GH∥平面FCM，
又∵DH∥AM，DH=AM，∴四边形AMCH为平行四边形，∴AH∥CM，∴AH∥平面FCM，
∵GH，AH是平面GAH上两相交直线，
∴平面GAH∥平面FCM，∴AG∥平面FMC．

点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积，考查了面面平行的性质，考查了学生的推理论证能力，解题的关键是判断三视图的数据所对应的几何量．