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5.设un=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$,证明数列{un}的极限存在.

分析 把$\frac{1}{{n}^{2}}$放缩并裂项为$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$,求其和后可得un=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$<2-$\frac{1}{n}$.由此可得数列{un}的极限存在.

解答 证明:∵$\frac{1}{{n}^{2}}<\frac{1}{(n-1)n}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$(n≥2),
∴un=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$<1+1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$=2-$\frac{1}{n}$.
∴当n→∞时,数列{un}的极限存在,等于2.

点评 本题考查数列的极限,考查了裂项相消法求数列的和,是中档题.

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