分析 把$\frac{1}{{n}^{2}}$放缩并裂项为$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$,求其和后可得un=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$<2-$\frac{1}{n}$.由此可得数列{un}的极限存在.
解答 证明:∵$\frac{1}{{n}^{2}}<\frac{1}{(n-1)n}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$(n≥2),
∴un=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$<1+1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$=2-$\frac{1}{n}$.
∴当n→∞时,数列{un}的极限存在,等于2.
点评 本题考查数列的极限,考查了裂项相消法求数列的和,是中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | C. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | D. | 1 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 已知F1(-4,0),F2(4,0),到两点F1,F2的距离之和大于8的点的轨迹是椭圆 | |
B. | 已知F1(-4,0),F2(4,0),到两点F1,F2的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 | |
C. | 到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和等于从点(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 | |
D. | 到点F1(-4,0),F2(4.0)距离相等的点的轨迹是椭圆 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | log23>1>log0.53 | B. | 1>log23>log0.53 | C. | log23>log0.53>1 | D. | log0.53>log23>1 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | m=n | B. | m>n | C. | m≤n | D. | m<n |
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