Question

已知a∈R，函数f(x)=

a

x

+lnx-1，g(x)=(lnx-1)ex+x
（1）判断函数f（x）在（0，e]上的单调性；
（2）是否存在实数x₀∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知a∈R，函数f(x)=

a

x

+lnx-1，对其进行求导，利用导数研究函数的单调性，对于a要分类讨论；
（2）假设存在，根据题意存在实数x₀∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直，将问题转化为存在实数x₀∈（0，+∞），使得g′（x₀）=0，有解，求出x₀的值，无解，说明不存在；

解答：解：（1）∵f(x)=

a

x

+lnx-1，（x＞0），
∴f^′（x）=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

①若a≤0，则，f^′（x）＞0，f（x）在（0，e]上单调递增
②若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，
当x∈（a，e]时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e]上单调递增
③若a≥e，则f^′（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减．
（2）∵g（x）=（lnx-1）e^x+x
∴g′（x）=（

1

x

+1nx-1）e^x+1，由（1）易知，
当a=1时，f（x）在（0，+∞）上的最小值：f（x）_min=f（1）=0
即x₀∈（0，+∞）时，

1

x0

+lnx0-1≥0．又ex0＞0，
∴g′（x₀）≥1＞0，
曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直等价于方程g′（x₀）=0有实数解．
而g′（x₀）＞0，即方程g′（x₀）=0无实数解，故不存在．

点评：此题利用导数研究函数的单调性，解题过程中用到了转化的思想，将问题简单化，这也高考中常用的方法；