Question

（11分）探究：是否存在常数a、b、c使得等式1·2²+2·3²+…+n(n+1)²=(an²+bn+c)
对对一切正自然数n均成立，若存在求出a、b、c，并证明；若不存在，请说明理由.

Answer 1

设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有
证明见解析。

先令n=1,2,3建立关于a,b,c的三个方程，解出a,b,c的值.然后再证明时，也成立.由于是与n有关的证明问题，可以考虑用数学归纳法进行证明.
设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有
于是，对n=1,2,3下面等式成立1·2²+2·3²+…+n(n+1)²=
记S_n=1·2²+2·3²+…+n(n+1)²设n=k时上式成立，即S_k= (3k²+11k+10)
那么S_k+1=S_k+(k+1)(k+2)²=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)²= (3k²+5k+12k+24)
=［3(k+1)²+11(k+1)+10］也就是说，等式对n=k+1也成立.
综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切正自然数n均成立.