Question

设

e1

，

e2

是两个互相垂直的单位向量，已知向量

AB

=3

e1

+2

e2

，

CB

=

e1

-λ

e2

，

CD

=-2

e1

+

e2

，
（1）若A、B、D三点共线，试求实数λ的值．
（2）若A、B、D三点构成一个直角三角形，试求实数λ的值．

Answer 1

分析：（1）由向量的减法运算求出

BD

，再由共线向量基本定理列式后转化为方程组求解；
（2）在（1）求出了

AB

和

BD

，再由向量加法求出

AD

，然后分三种情况进行讨论，运用垂直时的数量积为0求解λ的值．

解答：解：（1）

BD

=

CD

-

CB

=(-2

e1

+

e2

)-(

e1

-λ

e2

)=-3

e1

+(1+λ)

e2

，
∵A、B、D三点共线，∴存在实数μ使

AB

=μ

BD

，
即3

e1

+2

e2

=μ[-3

e1

+(1+λ)

e2

]⇒

3=-3μ 2=μ(1+λ)

⇒λ=-3．
（2）

AD

=

AB

+

BC

+

CD

=（3

e1

+2

e2

）+（-

e1

+λ

e2

）+（-2

e1

+

e2

）
=(λ+3)

e2

．
若∠A=90°，则

AB

•

AD

=2(λ+3)

e2

2=0⇒λ=-3，
此时A、D两点重合，应舍去；
若∠B=90°，则

AB

•

BD

=-9

e1

2+2(λ+1)

e2

2=0⇒λ=

7

2

；
若∠D=90°，则

BD

•

AD

=(λ+1)(λ+3)

e2

2=0⇒λ=-3（舍），λ=-1．
综上所述实数λ的值为λ=-3或λ=-1或λ=

7

2

．

点评：本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查了平面向量共线的坐标表示，考查了分类讨论思想，考查计算能力，是中低档题．