Question

已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），若f（x）满足：（x-1）[f′（x）-f（x）]＞0，f（2-x）=f（x）e^2-2x，则下列判断一定正确的是（　　）

A．f（1）＜f（0）

B．f（2）＞ef（0）

C．f（3）＞e³f（0）

D．f（4）＜e⁴f（0）

Answer 1

分析：由已知f（2-x）=f（x）e^2-2x，变形得

f(2-x)

e2-x

=

f(x)

ex

，因此考虑可构造函数g（x）=

f(x)

ex

，可得g′(x)=

f′(x)-f(x)

ex

．利用已知f（x）满足：（x-1）[f′（x）-f（x）]＞0，即可得出f（x）单调递减．可得g（-1）＞g（0）．即

f(-1)

e-1

＞

f(0)

e0

=f(0)．利用f（2-x）=f（x）e^2-2x，可得f（3）=f（-1）e⁴＞e^-1f（0）•e⁴=e³f（0）．即可

解答：解：令g（x）=

f(x)

ex

，则g′(x)=

f′(x)-f(x)

ex

．
∵f（x）满足：（x-1）[f′（x）-f（x）]＞0，
∴当x＜1时，f′（x）-f（x）＜0．∴g′（x）＜0．此时函数g（x）单调递减．
∴g（-1）＞g（0）．即

f(-1)

e-1

＞

f(0)

e0

=f(0)．
∵f（2-x）=f（x）e^2-2x，∴f（3）=f（-1）e⁴＞e^-1f（0）•e⁴=e³f（0）．
故选C．

点评：本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性基本方法，恰当构造函数是解题的关键，属于中档题．