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18.已知二次函数f(x)=x2+x的定义域为D恰是不等式$\frac{2}{x+1}≥1$的解集,其值域为A,函数g(x)=x3-3tx+$\frac{1}{2}t$的定义域为[0,1],值域为B.
(1)求函数f(x)定义域为D和值域A;
(2)是否存在负实数t,使得A⊆B成立?若存在,求负实数t的取值范围;若不存在,请说明理由;
(3)若函数g(x)=x3-3tx+$\frac{1}{2}t$在定义域[0,1]上单调递减,求实数t的取值范围.

分析 (1)解不等式$\frac{2}{x+1}≥1$求出D,结合二次函数的图象和性质,求出A;
(2)利用导数法,求出B,结合A⊆B,可得负实数t的取值范围;
(3)若函数g(x)=x3-3tx+$\frac{1}{2}t$在定义域[0,1]上单调递减,则g′(x)=3x2-3t≤0在[0,1]上恒成立,解得答案.

解答 解:(1)解不等式$\frac{2}{x+1}≥1$得:x∈(-1,0],
故二次函数f(x)=x2+x的定义域D=(-1,0],
∵二次函数f(x)=x2+x的图象是开口朝上,且以直线x=-$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线,
故二次函数f(x)=x2+x在x=-$\frac{1}{2}$时,取最小值$-\frac{1}{4}$,当x=0时,取最大值0,
故二次函数f(x)=x2+x的值域A=[$-\frac{1}{4}$,0];
(2)∵函数g(x)=x3-3tx+$\frac{1}{2}t$,
∴g′(x)=3x2-3t,
当t<0时,g′(x)≥0恒成立,
g(x)=x3-3tx+$\frac{1}{2}t$,x∈[0,1]为增函数,
此时B=[$\frac{1}{2}t$,$-\frac{5}{2}t+1$],
若A⊆B,
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}t≤-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{2}t+1≥0\end{array}\right.$,
解得:t≤$-\frac{1}{2}$;
(3)若函数g(x)=x3-3tx+$\frac{1}{2}t$在定义域[0,1]上单调递减,
则g′(x)=3x2-3t≤0在[0,1]上恒成立,
即t≥x2,x∈[0,1]恒成立,
解得:t≥1

点评 本题考查的知识点是集合的包含关系,函数的定义域,值域,导数法求函数的最值,难度较大,属于难题.

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