Question

【题目】已知f（x）=ex﹣ax﹣1．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex﹣a，令f′（x）≥0，解得ex≥a．

当a≤0时，有f′（x）＞0在R上恒成立，此时函数f（x）在R上单调递增；

当a＞0时，x≥lna，此时函数f（x）在[lna，+∞）上单调递增

（2）解：f（x）在定义域R内单调递增，

∴f′（x）=ex﹣a≥0恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．

∵x∈R，∴ex∈（0，+∞），∴a≤0．

当a=0时，f′（x）=ex＞0在R上恒成立．

故当a≤0时，f（x）在定义域R内单调递增

【解析】（1）f′（x）=ex﹣a，令f′（x）≥0，解得ex≥a．对a分类讨论，即可得出．（2）f（x）在定义域R内单调递增，可得f′（x）=ex﹣a≥0恒成立，即a≤ex ， x∈R恒成立．即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．