Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.

（Ⅰ）求证：PC⊥AB；

（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；

（Ⅲ）求点C到平面APB的距离.

Answer 1

解法一：

(I)取AB中点D，连结PD，CD.

∵AP=BP，

∴PD⊥AB.

∵AC=BC,

∴CD⊥AB.

∵PD∩CD=D,

∴AB⊥平面PCD.

∵PC∩平面PCD.

∴PC⊥AB.

（Ⅱ）∵AC=BC，AP＝BP，

∴△APC≌△BPC.

又PC⊥AC.

∴PC⊥BC.

又∠ACB=90°,即AC⊥BC.

且AC∩PC＝C,

∴BC⊥平面PAC.

取AP中点E，连结BE，CE.

∵AB＝BP，

∴BE⊥AP.

∵EC是BE在平面PAC内的射影.

∴CE⊥AP.

∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.

在△BCE中，∠BCE＝90°，BC＝2，BE＝AB＝，

∴sin∠BEC=

∴二面角B-AP-C的大小为 aresin

(Ⅲ)由（Ⅰ）知AB⊥平面PCD，

∴平面APB⊥平面PCD.

过C作CH⊥PD，垂足为H.

∵平面APB∩平面PCD＝PD，

∴CH⊥平面APB.

∴CH的长即为点C到平面APB的距离，

由（Ⅰ）知PC⊥AB，又PC⊥AC，

且AB∩AC＝A.

∴PC⊥平面ABC.

∵CD平面ABC.

∴PC⊥CD.

在Rt△PCD中，CD＝

∴PC＝

∴CH=

∴点C到平面APB的距离为

解法二：

（Ⅰ）∵AC＝BC，AP＝BP，

∴△APC≌△BPC.

又PC⊥AC.

∴PC⊥BC.

∵AC∩BC＝C，

∴PC⊥平面ABC.

∵AB平面ABC，

∴PC⊥AB.

（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.

则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.

设P（0，0，t）.

∵｜PB｜＝｜AB｜＝2，

∴t＝2，P（0，0，2）.

取AP中点E，连结BE，CE.

∵｜AC｜＝｜PC｜，｜AB｜＝｜BP｜,

∴CE⊥AP，BE⊥AP.

∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.

∵E（0，1，1），

∴cos∠BEC=

∴二面角B-AP-C的大小为arccos

（Ⅲ）∵AC=BC=PC，

∴C在平面APB内的射影为正△APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离.

如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C-xyZ.

∵

∴点H的坐标为（）.

∴

∴点C到平面APB的距离为