Question

已知实数x，y满足方程（x-2）²+y²=3．
（1）求

y

x

的最大值和最小值；
（2）求y-x的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）

y

x

的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

y

x

=k，即y=kx，求出直线y=kx与圆相切时，k的值，即可确定斜率k取最大值或最小值；
（2）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值．

解答：解：（1）原方程表示以（2，0）为圆心，

3

为半径的圆，

y

x

的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设

y

x

=k，即y=kx
当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时

|2k-0|

k2+1

=

3

，∴k=±

3

所以

y

x

的最大值为

3

，最小值为-

3

．…（6分）
（2）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，
此时

|2-0+b|

2

=

3

，解得b=-2±

6

所以y-x的最大值为-2+

6

，最小值为-2-

6

 …（12分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．