Question

已知在三棱锥T-ABC中，TA，TB，TC两两垂直，T在地面ABC上的投影为D，给出下列命题：
①TA⊥BC，TB⊥AC，TC⊥AB；
②△ABC是锐角三角形；
③

1

TD2

=

1

TA2

+

1

TB2

+

1

TC2

；
④

S

2 △ABC

=

1

3

(

S

2 △TAB

+

S

2 △TAC

+

S

2 △TBC

)（注：S_△ABC表示△ABC的面积）
其中正确的是

 

（写出所有正确命题的编号）．

Answer 1

分析：对于①，TA，TB，TC两两垂直可得：直线TA与平面TBC垂直，从而得出：TA⊥BC，同理得到TB⊥AC，TC⊥AB；
对于问题②可以通过余弦定理解决．
对于③，在直角三角形ATE中，利用平面几何中面积相等公式及射影定理即可证得；
对于④，如图作TE⊥CB于E，连AE，则AE⊥CB．S_△BCA² =

1

4

BC2•AE² =

1

4

BC2•（AT²+TE²）再化简即得S_△BCA²=S_△TBC²+S_△ACT²+S_△TAB²．

解答：解：对于①，TA，TB，TC两两垂直可得：TA⊥平面TBC，从而得出：TA⊥BC，同理得到TB⊥AC，TC⊥AB，故①正确；
②设TA=a；TB=b；TC=c，则AB²=a²+b²，同理BC²=c²+b²，Ac²=a²+c²，在三角形ABC中，由余弦定理得：cosA=

AB 2+AC 2-BC 2

2AB×AC

=

a 2+b 2+a 2+c 2-c 2-b 2

2 a 2+b 2 a 2+c 2

=

a 2

a 2+b 2 a 2+c 2

＞0，同理可证cosB＞0，cosC＞0，所以，）△ABC是锐角三角形．
③设TA=a；TB=b；TC=c，在直角三角形TBC中，得：TE=

bc

b2+c2

，
在三角形ABC中，有：AE=

a2b2+ b2c2+ c2a2

b2+c2

由于AE×TD=TA×TE
∴

a2b2+ b2c2+ c2a2

b2+c2

×TD=a×

bc

b2+c2

，
∴a²b²c²=（a²b²+b²c²+c²a²）TD ²
∴

1

TD2

=

1

TA2

+

1

TB2

+

1

TC2

；成立
故③对
④：S_△BCA²=S_△TBC²+S_△ACT²+S_△TAB²．证明如下：
如图作TE⊥CB于E，连AE，则AE⊥CB．
S_△BCA² =

1

4

BC2•AE² =

1

4

BC2•（AT²+TE²）=

1

4

（TB²+TC²）（AT²+TE²）
=

1

4

（TB²TC² +TA²TC²+TA²TB² ）=S_△TBC²+S_△ACT²+S_△TAB²，
故不对；
故答案为：①②③．

点评：本题考查棱锥的结构特征以及解三角形的有关理论，在立体几何中考查平面几何问题，要注意在空间的某个平面内，平面几何的有关定理、公式等结论仍然成立．本题还考查类比推理，属于中档题．