Question

已知AB是抛物线y²=ax（a＞0）的焦点弦，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），点F是抛物线的焦点，则有S_△AOB=

a2

8sinθ

（θ为直线AB的倾斜角）．

Answer 1

分析：设直线AB的方程为x=my+

a

4

，与抛物线方程联解利用根与系数的关系算出x₁+x₂=am²+

a

2

，结合抛物线的定义得到|AB|=a（m²+1）=

a

sin2θ

．利用解三角形算出O到AB的距离d=

asinθ

4

，从而算出S_△AOB=

1

2

•|AB|•d=

a2

8sinθ

．

解答：解：∵抛物线y²=ax（a＞0）的焦点坐标为F（

a

4

，0）
∴设直线AB的方程为x=my+

a

4

，（m是斜率tanθ的倒数）
代入y²=ax，可得y²-amy-

a2

4

=0
∴y₁+y₂=am，y₁y₂=-

a2

4

，
可得y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=a²m²+

a2

2

，
∵y₁²+y₂²=a（x₁+x₂），∴x₁+x₂=am²+

a

2

，
∴焦点弦|AB|=x₁+x₂+

a

2

=am²+a=a（m²+1），
∵m²+1=

1

tan2θ

+1=

1

sin2θ

∴|AB|=am²+a=

a

sin2θ

∵∠OFB=θ，得O到AB的距离d=|OF|sinθ=

asinθ

4

∴S_△AOB=

1

2

•|AB|•d=

1

2

•

a

sin2θ

•

asinθ

4

=

a2

8sinθ

故答案为：

a2

8sinθ

点评：本题给出抛物线焦点弦的倾角，求焦点弦与原点构成三角形的面积，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质、三角函数化简和三角形面积公式等知识，属于中档题．