Question

已知函数f（x）=（x²-3x+1）e^x
（I）求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（II）若对任意的x∈（1，+∞），不等式f（x）＞m恒成立，求m的取值范圈．

Answer 1

解：（I）∵函数f（x）=（x²-3x+1）e^x，∴f（1）=-e，
∴f^′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+1）^x=（x²-x-2）e^xf^′（x）=（x²-x-2）e^x=0，
∴f^′（1）=-2e，
∴y-（-e）=-2e（x-1）
所以函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：2ex+y-e=0
（II）对任意的x∈（1，+∞），不等式f （x）＞m恒成立
由题意可转化为：在区间（1，+∞）内，f （x）_min＞m
令f^′（x）=（x²-x-2）e^x=0，解得x=2，
并且当x∈（1，2）f^′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（2，+∞）f^′（x）＞0，f（x）单调递增．
即在x=2处，f（x）取到极小值f（2）=-e²且是唯一的极小值，也就是最小值
所以f （x）_min=-e²，
因此所求m的取值范围是（-∞，-e²）．
分析：（I）由函数f（x）=（x²-3x+1）e^x，求导函数，可求切点坐标和切线斜率，易写出切线方程；
（Ⅱ）对任意的x∈（1，+∞），不等式f （x）＞m恒成立可转化为：在区间（1，+∞）内，f （x）_min＞m，只需通过导数法求得f（x）在区间（1，+∞）上的最小值即可．
点评：本题为函数与导数的综合应用，利用好导数的几何意义和求区间的最值是解决问题的关键，属难题．