Question

（理科）若正四面体S-ABC的底面△ABC内有一动点P分别到面SAB，面SBC，面SAC的距离成等差数列，则点P的轨迹正确的是

（1）

；
（1）一条线段        
（2）一个点       
（3）一段圆弧       
（4）抛物线的一段．

Answer 1

分析：设正四面体棱长为1，由于P到面SAB、面SBC、面SAC的距离成等差数列，可算出点P到平面SBC的距离等于

6

9

（定值），因此点P在与平面SBC平行且距离为

6

9

的平面α内，说明P在平面ABC与平面α的交线上，由此可得本题答案．

解答：解：连接PA、PB、PC、PS，设P在平面SBC、平面SAC和平面SAB的射影
分别为F、G和H，连接PF、PG、PH
设正四面体棱长为1，可得它的体积为
V=

1

3

×S_△ABC×h=

1

3

×

3

4

×

6

3

=

2

12

∵PH、PF、PG成等差数列，
∴设PH=PF-x，PG=PF+x（x＜PF），得
V_P-ABS=

1

3

×S_△ABS×PH=

3

12

（PF-x），
V_P-BCS=

1

3

×S_△BCS×PH=

3

12

PF，V_P-ACS=

1

3

×S_△BCS×PH=

3

12

（PF+x）
由此可得

3

12

（PF-x）+

3

12

PF+

3

12

（PF+x）=

2

12

，化简可得PF=

6

9

所以动点P到平面SBC的距离为

6

9

（定值），
得P在与平面SBC平行且距离为

6

9

的平面内，设这个平面为α
∴点P在平面ABC与平面α的交线上，可得P在△ABC内的轨迹是一条线段
故答案为：（1）

点评：本题给出正四面体底面ABC内满足特殊条件的点P，求点P的轨迹曲线，着重考查了正四面体的性质、等差数列的应用和轨迹的求法等知识，属于基础题．