Question

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA₁＝1.D是棱CC₁上的中点，P是AD的延长线与A₁C₁的延长线的交点.
(1)求二面角A－A₁D－B的平面角的余弦值；
(2)求点C到平面B₁DP的距离．

Answer 1

（1）；（2）见解析.

本试题主要考查了立体几何中二面角的求解和点到面的距离的综合运用。
解：如图，以A₁为原点，A₁B₁，A₁C₁，A₁A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A₁(0,0,0)，B₁(1,0,0)，C₁(0，1,0)，B(1,0,1)．D(0,1,)

设平面BA₁D的一个法向量为n₁＝(x，y，z)，
解得
取,得n₁＝(2，－1，2)．
又n₂＝(1,0,0)为平面AA₁D的一个法向量，
∴cos〈n₁·n₂〉＝＝＝.
故二面角A－A₁D－B的平面角的余弦值为.
(3)∵＝(1，－2,0)，＝，
设平面B₁DP的一个法向量为n₃＝(a₁，b₁，c₁)．

令c₁＝1，可得n₃＝.
又＝，
∴C到平面B₁DP的距离d＝＝.