Question

已知奇函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，且-π≤φ≤0）的定义域为R，其图象C关于直线x=

π

4

对称，又f（x）在区间[0，

π

6

]上是单调函数．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）将图象C向右平移

π

4

个单位后，得到函数y=g（x）的图象．
①化简，并求值：

1+f(20°)+g(20°)

1+f(20°)-g(20°)

+4f（10°）；
②若关于x的方程f（x）=g（x）+m在区间[0，

π

6

]上有唯一实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数是奇函数，结合φ的范围，求出φ，利用函数的对称轴，求出ω，即可求函数f（x）的表达式；
（2）将图象C向右平移

π

4

个单位后，得到函数y=g（x）的图象即可得到表达式，
①推出

1+f(20°)+g(20°)

1+f(20°)-g(20°)

+4f（10°），利用二倍角公式，化简整理可求结果；
②通过方程f（x）=g（x）+m，表示出m，通过函数的单调性，以及在区间[0，

π

6

]上有唯一实根，求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）由f（x）=cos（ωx+φ）是R上的奇函数，得f（0）=cosφ=0．
又-π≤φ≤0，所以φ=-

π

2

．…（1分）
所以f（x）=cos（ωx-

π

2

）=sinωx．…（2分）
由y=f（x）的图象关于直线x=

π

4

对称，且ω＞0，得
ω•

π

4

=kπ+

π

2

（k∈N），解得ω=4k+2（k∈N）．①…（3分）
又f（x）在区间[0，

π

6

]上是单调函数，所以0≤ω•x≤ω•

π

6

≤

π

2

，
解得ω≤3．②…（4分）
由①②，得ω=2．所以f（x）=sin2x．…（5分）
（2）g（x）=f（x-

π

4

）=sin（2x-

π

2

）=-cos2x．…（6分）
①原式=

1+sin40°-cos40°

1+sin40°+cos40°

+4sin20°
=

2sin20°(sin20°+cos20°)

2cos20°(sin20°+cos20°)

+4sin20°
=

sin20°

cos20°

+4sin20° …（7分）
=

sin20°

cos20°

+4sin20°•

cos20°

cos20°

=

sin20°+2sin40°

cos20°

 …（8分）
=

sin20°+2sin(60°-20°)

cos20°

 …（9分）
=

sin20°+ 3 cos20°-sin20°

cos20°

=

3

．…（10分）
②m=f（x）-g（x）=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）．…（11分）
易知函数y=

2

sin（2x+

π

4

）在区间[0，

π

8

]上单调递增，在区间[

π

8

，

π

6

]上单调递减．…（12分）
又当x=0时，f（x）-g（x）=1；       
 当x=

π

8

时，f（x）-g（x）=

2

；
当x=

π

6

时，f（x）-g（x）=

3 +1

2

．…（13分）
故所求实数m的取值范围是m=

2

或1≤m＜

3 +1

2

．…（14分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的解析式的求法，三角函数的化简求值，函数的单调性，对称性的应用，考查计算能力，转化思想．