Question

15．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-4x，x≤0\\{e^x}-1，x＞0\end{array}\right.$，若f（x）≥ax在R上恒成立，则a的取值范围是[-4，1]．

Answer 1

分析 依题意，分x≤0、x=0与x＞0三类讨论，分别求得a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．

解答 解：∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-4x，x≤0\\{e^x}-1，x＞0\end{array}\right.$，f（x）≥ax在R上恒成立，
∴当x≤0时，x²-4x≥ax恒成立，
x=0时，a∈R；①
x＜0时，a≥（x-4）_max，故a≥-4；②
当x＞0时，f（x）≥ax恒成立，即e^x-1≥ax恒成立，
令g（x）=e^x-1-ax（x＞0），则g（x）≥0（x＞0）恒成立，
又g（0）=0，
∴g（x）=e^x-1-ax（x＞0）为（0，+∞）上的增函数，
则g′（x）=e^x-a≥0（x＞0），
∴a≤（e^x）_min=e⁰=1；③
由①②③知，-4≤a≤1，
故答案为：[-4，1]．

点评 本题考查函数恒成立问题，突出考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，由x＞0时，f（x）≥ax恒成立，分析出g（x）=e^x-1-ax（x＞0）为（0，+∞）上的增函数是关键，也是难点（分离参数a解决不了问题），属于难题．