Question

如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，侧棱长为2，G是PB的中点．
（1）证明：PD∥面AGC；
（2）求AG和平面PBD所成的角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）设AC，BD交于点O，连结OG，由已知得OG∥PD，由此能证明PD∥面AGC．
（2）连结OP，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AG和平面PBD所成的角的正切值．

解答： （1）证明：设AC，BD交于点O，连结OG，
∵ABCD是正方形，∴O是BD的中点，
∵G是PB的中点，∴OG∥PD，
∵OG?面AGC，PD?平面AGC，
∴PD∥面AGC．
（2）解：连结OP，∵四棱锥中，底面是边长为2的正方形，
顶点在底面的射影是底面的中心，侧棱长为2，G是PB的中点，
∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
P（0，0，

2

），B（0，

2

，0），G（0，

2

2

，

2

2

），
A（

2

，0，0），D（0，-

2

，0），

AG

=（-

2

，

2

2

，

2

2

），平面PBD的法向量

n

=（1，0，0），
设AG和平面PBD所成的角为θ，
sinθ=|cos＜

AG

，

n

＞|=|

- 2

2+ 1 2 + 1 2

|=

6

3

，
∴tanθ=

2

．
∴AG和平面PBD所成的角的正切值为

2

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．