Question

20．已知函数f（x）=x³-3x²+ax+2，且f（x）在x=-1处取极大值．
（1）求实数a的值；
（2）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）+10x与直线y=kx-2只有一个交点．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用函数的极值，导函数值为0，即可求出a．
（2）构造函数g（x）=x³-3x²+（1-k）x+4，求出导数，当x≤0时，g（x）在（-∞，0]单调递增，由“零点存在性定理”知：g（x）=0有唯一实根．当x＞0时，令h（x）=x³-3x²+4，通过函数的单调性，推出曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点．得到结果．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-6x+a，f′（-1）=9+a
因为f（x）在x=-1处取极大值，
所以f′（-1）=0．
∴a=-9．
（2）证明：由（1）知y=f（x）+10x=x³-3x²+x+2，
设g（x）=x³-3x²+（1-k）x+4（构造函数）
∴g′（x）=3x²-6x+（1-k）
讨论：
①当x≤0时，∴g′（x）=3x²-6x+（1-k）=3（x-1）²-k-2＞0，
所以：g（x）在（-∞，0]单调递增，
而g（-1）=k-1＜0，g（0）=4，
由“零点存在性定理”知：g（x）=0在（-∞，0]上有唯一零点，即唯一实根．
②当x＞0时，令h（x）=x³-3x²+4，
∴g（x）=h（x）+（1-k）x＞h（x）（由题设知1-k＞0）
而h′（x）=3x（x-2）h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
所以g（x）＞h（x）≥h（2）=0
所以g（x）=0在（0，+∞）上没有实根．
综上，g（x）=0在R有唯一实根，
即曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，同时开始函数的零点的应用，考查分析问题解决问题的能力．