Question

根据下面一组等式：可得s₁+s₃+…+s_2n-1

n⁴

．

Answer 1

分析：利用等差数列的通项公式与求和公式，可得S_n=（n³+n），再以2n-1代替n，得S_2n-1=4n³-6n²+4n-1，结合和的特点可以求解

解答：解：由题中数阵的排列特征，设第i行的第1个数记为a_i（i=1，2，3…n）
则a₂-a₁=1
a₃-a₂=2
a₄-a₃=3
…
a_n-a_n-1=n-1
以上n-1个式子相加可得，a_n-a₁=1+2+…+（n-1）=

1+n-1

2

×(n-1)=

n(n-1)

2

∴an=

n(n-1)

2

+1
S_n共有n连续正整数相加，并且最小加数为

n(n-1)

2

+1，最大加数

n(n+1)

2

∴S_n=n•×

n(n+1)

2

+

n(n-1)

2

×（-1）=

1

2

（n³+n）
∴S_2n-1=

1

2

[（2n-1）³+（2n-1）]=4n³-6n²+4n-1
∴S₁=1
S₁+S₃=16=2⁴
S₁+S₃+S₅=81=3⁴
∴S₁+S₃+…+S_2n-1=1+15+65+…+4n³-6n²+4n-1
=n⁴．
故答案：n⁴

点评：本题以一个三角形数阵为载体，考查了等差数列的通项与求和公式、简单的合情推理等知识，属于中档题．