Question

已知圆C：（x-2）²+（y-1）²=4的周长被双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平分，则双曲线E的离心率为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、

  5

  2

• D、2

  5

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出圆的圆心坐标，求出双曲线的渐近线方程，由题意可得，双曲线的一条渐近线通过圆心，即可得到a，b的关系，再由a，b，c和离心率公式，计算即可得到．

解答： 解：圆C：（x-2）²+（y-1）²=4的圆心为（2，1），
根据题意可知，双曲线的一条渐近线通过圆心，
即（2，1）在直线y=

b

a

x上，即a=2b，
此时c=

a2+ a2 4

=

5

2

a，则e=

5

2

．
故选C．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查圆的方程的运用，考查离心率的求法，抓住渐近线经过圆心是解题的关键．