Question

已知离心率为的椭圆的右焦点F是圆（x-1）²+y²=1的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据圆方程可求得圆心坐标，即椭圆的右焦点，根据椭圆的离心率进而求得a，最后根据a，b和c的关系求得b，则椭圆方程可得．
（II）P（x，y），M（0，m），N（0，n），把椭圆方程与圆方程联立求得交点的横坐标，进而可推断x的范围，把直线PM的方程化简，根据点到直线的距离公式表示出圆心到直线PM和PN的距离．求得x和y的关系式，进而求得m+n和mn的表达式，进而求得|MN|．把点P代入椭圆方程根据弦长公式求得MN|．记，根据函数的导函数判断函数的单调性，进而确定函数f（x）的值域，进而求得当时，|MN|取得最大值，进而求得y，则P点坐标可得．
解答：解：（I）∵圆（x-1）²+y²=1的圆心是（1，0），
∴椭圆的右焦点F（1，0），
∵椭圆的离心率是，∴
∴a²=2，b²=1，∴椭圆的方程是．

（II）设P（x，y），M（0，m），N（0，n），
由得，∴．
直线PM的方程：，
化简得（y-m）x-xy+xm=0．
又圆心（1，0）到直线PM的距离为1，
∴，
∴（y-m）²+x²=（y-m）²+2xm（y-m）+x²m²，
化简得（x-2）m²+2ym-x=0，
同理有（x-2）n²+2yn-x=0．
∴，，
∴=．
∵P（x，y）是椭圆上的点，∴，
∴，
记，则，时，
f'（x）＜0；时，f'（x）＜0，
∴f（x）在上单调递减，在内也是单调递减，
∴，
当时，|MN|取得最大值，
此时点P位置是椭圆的左顶点．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查考生分析问题、解决问题的能力．