Question

某港口的水深y（m）是时间t （0≤t≤24，单位：h）的函数，下表是该港口某一天从0：00时至24：00时记录的时间t与水深y的关系：

t（h）	0：00	3：00	6：00	9：00	12：00	15：00	18：00	21：00	24：00
y（m）	10.0	13.0	9.9	7.0	10.0	13.0	10.1	7.0	10.0

经长时间的观察，水深y与t的关系可以用y=Asin（ωx+?）+h拟合．根据当天的数据，完成下面的问题：
（1）求出当天的拟合函数y=Asin（ωx+?）+h的表达式；
（2）如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，船舶安全航行时船底与海底的距离不少于4.5m．那么该船在什么时间段能够进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间．（忽略离港所需时间）
（3）若某船吃水深度为8m，安全间隙（船底与海底的距离）为2.5．该船在3：00开始卸货，吃水深度以每小时0.5m的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，驶向较安全的水域？

Answer 1

分析：（1）根据数据，

A+h=13 -A+h=7

，可得A=3，h=10，由T=15-3=12，可求ω=

π

6

将点（3，13）代入可得?=0，从而可求函数的表达式；
（2）由题意，水深y≥4.5+7，即y=3sin

π

6

t+10≥11.5，t∈[0，24]，从而可求t∈[1，5]或t∈[13，17]；
（3）设在时刻x船舶安全水深为y，则y=10.5-0.5（x-3）（x≥3），若使船舶安全，则10.5-0.5(x-3)≥3sin

π

6

x+10，从而可得3≤x≤7，即该船在7：00必须停止卸货，驶向较安全的水域．

解答：解：（1）根据数据，

A+h=13 -A+h=7

，
∴A=3，h=10，
T=15-3=12，
∴ω=

2π

T

=

π

6

，
∴y=3sin（

π

6

x+?）+10
将点（3，13）代入可得?=0
∴函数的表达式为y=3sin

π

6

t+10(0≤t≤24)
（2）由题意，水深y≥4.5+7，
即y=3sin

π

6

t+10≥11.5，t∈[0，24]，
∴sin

π

6

t≥

1

2

，

π

6

t∈[2kπ+

π

6

，2kπ+

5π

6

]，k=0，1，
∴t∈[1，5]或t∈[13，17]；
所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港．
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．
（3）设在时刻x船舶安全水深为y，则y=10.5-0.5（x-3）（x≥3），
这时水深y=3sin

π

6

x+10，
若使船舶安全，则10.5-0.5(x-3)≥3sin

π

6

x+10，
即2-0.5x≥3sin

π

6

x，
∴3≤x≤7，
即该船在7：00必须停止卸货，驶向较安全的水域．

点评：本题以表格数据为载体，考查三角函数模型的构建，考查解三角不等式，同时考查学生分析解决问题的能力．