Question

16．对于不等式x+（a+1）$\sqrt{x}$+a＜0分别求满足下列条件的实数a的取值范围：
（1）不等式的解集是[0，3）；
（2）不等式在[0，3）上有解；
（3）不等式在[0，3）上恒成立．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次不等式的解法求出不等式的解集即可求出a的范围．
（2）不等式在[0，3）上有解等价为[0，3）∩[0，a²）≠∅，且a＜0；
（3）不等式在[0，3）上恒成立等价为[0，3）⊆[0，a²），且a＜0．

解答 解：（1）∵x+（a+1）$\sqrt{x}$+a＜0
∴（$\sqrt{x}$）²+（a+1）$\sqrt{x}$+a＜0，
即（$\sqrt{x}$+a）（$\sqrt{x}$+1）＜0，
∵不等式的解集是[0，3），
∴a＜0，
由（$\sqrt{x}$+a）（$\sqrt{x}$+1）＜0，
得-1＜$\sqrt{x}$＜-a，
解得0≤x＜a²，即不等式的解集是[0，a²），
∵不等式的解集是[0，3），
∴a²=3，解得a=$-\sqrt{3}$；
（2）由（1）知，不等式x+（a+1）$\sqrt{x}$+a＜0的解集为[0，a²），
若不等式在[0，3）上有解，
则[0，3）∩[0，a²）≠∅，且a＜0，
此时a＜0恒成立，此时a的取值范围是（-∞，0）．
（3）若不等式在[0，3）上恒成立．
则[0，3）⊆[0，a²），且a＜0，
则a²≥3，解得a≥$\sqrt{3}$（舍）或a≤-$\sqrt{3}$，
即a的取值范围是（-∞，-$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查不等式的解法，根据一元二次不等式的解法是解决本题的关键．