【题目】已知函数f(x)=(x﹣1)ex+ax2有两个零点. (Ⅰ)求a的取值范围;
(Ⅱ)设x1 , x2是f(x)的两个零点,证明x1+x2<0.
【答案】解:(Ⅰ)f'(x)=xex+2ax=x(ex+2a) (i)当a>0时,
函数f(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.
∵f(0)=﹣1<0,f(2)=e2+4a>0,
取实数b满足b<﹣2且b<lna,则f(b)>a(b﹣1)+ab2=a(b2+b﹣1)>a(4﹣2﹣1)>0,
所以f(x)有两个零点
(ii)若a=0,则f(x)=(x﹣1)ex , 故f(x)只有一个零点
(iii)若a<0,由(I)知,
当 ,则f(x)在(0,+∞)单调递增,又当x≤0时,f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;
当 ,则函数在(ln(﹣2a),+∞)单调递增;在(0,ln(﹣2a))单调递减.又当x≤1时,f(x)<0,故不存在两个零点.
综上所述,a的取值范围是(0,+∞).
证明:(Ⅱ)不妨设x1<x2 .
由(Ⅰ)知x1∈(﹣∞,0),x2∈(0,+∞),﹣x2∈(﹣∞,0),则x1+x2<0等价于x1<﹣x2 .
因为函数f(x)在(﹣∞,0)单调递减,
所以x1<﹣x2等价于f(x1)>f(﹣x2),即证明f(﹣x2)<0.(8分)
由 ,得 , ,
令g(x)=(﹣x﹣1)e﹣x+(1﹣x)ex , x∈(0,+∞).
g'(x)=﹣x(e﹣x+ex)<0,g(x)在(0,+∞)单调递减,又g(0)=0,所以g(x)<0,
所以f(﹣x2)<0,即原命题成立
【解析】(Ⅰ)求出f'(x)=xex+2ax=x(ex+2a),通过(i)当a>0时,判断函数的单调性,判断零点个数;(ii)若a=0,判断f(x)只有一个零点.(iii)若a<0,利用单调性判断零点个数即可.(Ⅱ)不妨设x1<x2 . 推出x1<﹣x2 . 利用函数f(x)在(﹣∞,0)单调递减,证明f(﹣x2)<0.令g(x)=(﹣x﹣1)e﹣x+(1﹣x)ex , x∈(0,+∞).利用g'(x)=﹣x(e﹣x+ex)<0,转化证明即可.
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案,需要熟知求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.
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【题目】设函数 ,则下列结论正确的是( )
①f(x)的图象关于直线 对称
②f(x)的图象关于点 对称
③f(x)的图象向左平移 个单位,得到一个偶函数的图象
④f(x)的最小正周期为π,且在 上为增函数.
A.③
B.①③
C.②④
D.①③④
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【题目】已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,左右焦点分别为F1 , F2 , 且|F1F2|=2,点(1, )在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且△AF2B的面积为 ,求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程.
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【题目】已知函数f(x)=x3﹣6x2+9x,g(x)= x3﹣ x2+ax﹣ (a>1)若对任意的x1∈[0,4],总存在x2∈[0,4],使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围为( )
A.(1, ]??
B.[9,+∞)??
C.(1, ]∪[9,+∞)??
D.[ , ]∪[9,+∞)
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【题目】已知函数f(x)=|x+m|+|2x﹣1|(m∈R) (I)当m=﹣1时,求不等式f(x)≤2的解集;
(II)设关于x的不等式f(x)≤|2x+1|的解集为A,且[ ,2]A,求实数m的取值范围.
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【题目】已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S3 , S9 , S6成等差数列. (Ⅰ)求证:a2 , a8 , a5成等差数列;
(Ⅱ)若等差数列{bn}满足b1=a2=1,b3=a5 , 求数列{an3bn}的前n项和Tn .
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【题目】给出以下四个结论: ①函数 的对称中心是(﹣1,2);
②若关于x的方程 没有实数根,则k的取值范围是k≥2;
③在△ABC中,“bcosA=acosB”是“△ABC为等边三角形”的充分不必要条件;
④若 的图象向右平移φ(φ>0)个单位后为奇函数,则φ最小值是 .
其中正确的结论是 .
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