Question

(2007北京海淀模拟)如图所示，在直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB⊥x轴于点C，，，动点M到直线AB的距离是它到点D的距离的2倍．

(1)求点M的轨迹方程；

(2)设点K为点M的轨迹与x轴正半轴的交点，直线l交点M的轨迹于E，F两点(E，F与点K不重合)，且满足，动点P满足，求直线KP的斜率的取值范围．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)依题意知，点M的轨迹是以点D为焦点，直线AB为其相应准线，离心率为的椭圆．设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 又，，∴点D在x轴上，且，则． 解之得a=2，c=1，． ∴坐标原点O为椭圆的对称中心． ∴动点M的轨迹方程为． (2)设，，直线EF的方程为x=my＋n， 代入得． ， ，． ， ． ∵，K点坐标为(2，0)，∴， ∴，∴． 解得：，n=2(舍)． 设，，由知，． 直线KP的斜率为． 当m=0时，k=0(符合题意)； 当m≠0时，， ∵(时取“=”)或， (时取“=”)， ∴． 综上所述，．