Question

20．已知关于x的方程x²+kx+3=0（k∈R）有两个虚根α和β，且|α-β|=2$\sqrt{2}$，求k的值．

Answer 1

分析 方程x²+kx+3=0（k∈R）有两个虚根α和β，可设α=a+bi，β=a-bi（a，b∈R），α+β=2a=-k，αβ=a²+b²=3，由于|α-β|=2$\sqrt{2}$，可得|2bi|=2$\sqrt{2}$，即可得出．

解答 解：∵方程x²+kx+3=0（k∈R）有两个虚根α和β，
可设α=a+bi，β=a-bi（a，b∈R）．
∴α+β=2a=-k，αβ=a²+b²=3，
∵|α-β|=2$\sqrt{2}$，
∴|2bi|=2$\sqrt{2}$，
联立解得：b=±$\sqrt{2}$，a=±1．
解得k=±2．

点评 本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．