Question

已知f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d是定义在R上的函数，其图象交x轴于A，B，C三点，若点B的坐标为(2，0)，且f(x)在[－1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．

(1)求的取值范围；

(2)在函数f(x)的图象上是否存在一点M(x₀，y₀)，使得f(x)在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；

(3)求|AC|的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因为f(x)在[－1，0]和[0，2]上有相反的单调性．所以x＝0是f(x)的一个极值点，故(0)＝0，即3ax2＋2bx＋c＝0有一个解为x＝0，则c＝0． 　　此时，易得3ax2＋2bx＝0的另一解x＝－，因为f(x)在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，所以，－≥2且－≤4Û －6≤≤－3． 　　(2)假设存在点M(x0，y0)，使得f(x)在点M的切线斜率为3b，即(x0)＝3b，即 　　3ax02＋2bx0－3b＝0，∵Δ＝(2b)2－4×3a×(－3b)＝4b2＋36ab＝4ab(＋9)， 　　而－6≤≤－3，∴Δ＜0．故不存在一点M(x0，y0)，使得f(x)在点M的切线斜率为3b． 　　(3)依题意可令f(x)＝a(x―2)(x―a )(x―b )＝a[x3―(2＋a ＋b )x2＋(2a ＋2b ＋a b )x―2a b ] 　　则 　　因为f(x)交x轴于点B(2，0)，所以8a＋4b＋d＝0， 　　即d＝－4(b＋2a)，于是，＝－4(＋2)， 　　∴|AC|＝|a ―b |＝ 　　 　　因为－6≤≤－3，所以，当＝―6时，|AC|max＝4，当＝―3时，|AC|min＝3 　　故3≤|AC|≤4．