【题目】函数 .
(1)当时,讨论的单调性;
(2)若函数有两个极值点,且,证明: .
【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:
(1)结合函数的解析式求导可得,分类讨论可得:
当时, 在上递减,
在和上递增,当时,在上递增.
(2)由题意结合函数的性质可知: 是方程的两根,结合所给的不等式构造对称差函数 ,结合函数的性质和自变量的范围即可证得题中的不等式.
试题解析:
函数的定义域为,
(1)令,开口向上, 为对称轴的抛物线,
当时,
①,即时, ,即在上恒成立,
②当时,由,得,
因为,所以,当时, ,即,
当或时, ,即,
综上,当时, 在上递减,
在和上递增,当时,在上递增.
(2)若函数有两个极值点且,
则必有,且,且在上递减,在和上递增,
则,
因为是方程的两根,
所以,即,
要证
又
,
即证对恒成立,
设
则
当时, ,故,
所以在上递增,
故,
所以,
所以.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知有穷数列, , , , ,若数列中各项都是集合的元素,则称该数列为数列.
对于数列,定义如下操作过程从中任取两项, ,将的值添在的最后,然后删除, ,这样得到一个项的新数列,记作(约定:一个数也视作数列).若还是数列,可继续实施操作过程.得到的新数列记作, ,如此经过次操作后得到的新数列记作.
(Ⅰ)设, , , ,请写出的所有可能的结果.
(Ⅱ)求证:对数列实施操作过程后得到的数列仍是数列.
(Ⅲ)设, , , , , , , , , , ,求的所有可能的结果,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列满足, ,其中.
(1)设,求证:数列是等差数列,并求出的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,是否存在正整数,使得对于恒成立,若存在,求出的最小值,若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)已知点是曲线上一点,若点到曲线的最小距离为,求的值.
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