Question

某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段
[40，50），[50，60），…[90，100]，其频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）求第三小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）估计这次考试的平均分；
（Ⅲ） 假设在[90，100]段的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率．

Answer 1

分析：（I）由已知中频率直方图，我们根据各组的频率和为1，求出残缺组的频率，乘以组距后，即可得到该组的矩形高度，进而补充图形；
（II）累加各组组中值与频率的乘积，即可估计这次考试的平均分；
（Ⅲ） 用列举法我们可以得到从95，96，97，98，99，100这6个数中任取2个数的基本事件数，如果这2数恰好是两个学生的成绩，则这2学生在[99，100]段，而[99，100]的人数是3人，我们可以列举出满足条件的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）第三小组的频率：
1-（0.005+0.015+0.030+0.025+0.005）×10=0.2…．（2分）
频率分布直方图如图所示：
…．（4分）

（Ⅱ）利用组中值估算抽样学生的平均分：

.

x

=45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．
估计这次考试的平均分是72分…．（9分）
（ⅡI）从95，96，97，98，99，100中抽取2个数全部可能的基本结果有：
（95，96），（95，97），（95，98），（95，99），（95，100），
（96，97），（96，98），（96，99），（96，100）
（97，98），（97，99），（97，100）
（98，99），（98，100）
（99，100）共15个基本结果．…．（11分）
如果这2数恰好是两个学生的成绩，则这2学生在[99，100]段，而[99，100]的人数是3人，不妨设这3人的成绩是95，96，97．
则事件A：“2个数恰好是两个学生的成绩”包括的基本结果有：（95，96），（95，97），（96，97），．
共有3个基本结果．…．（13分）
所以所求的概率为P（A）=

3

15

=

1

5

．…．（14分）

点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本的数学特征估计总体的数字特征，列举法计算基本事件及事件发生的概率，其中（I）的关键是据各组的频率和为1，求出残缺组的频率，（II）的关键是掌握由频率分布直方图求平均数的方法，（III）的关键是确定基本事件总个数及满足条件的基本事件总数．