Question

已知一个三角形的三边长为连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则这个三角形的面积为

 

．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：根据三角形满足的两个条件，设出三边长分别为n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，由n-1，n+1，sinα，以及sin2α，利用正弦定理列出关系式，根据二倍角的正弦函数公式化简后，表示出cosα，然后利用余弦定理得到（n-1）²=（n+1）²+n²-2（n-1）n•cosα，将表示出的cosα代入，整理后得到关于n的方程，求出方程的解得到n的值，从而得到三边长的值，由海伦公式可得三角形的面积．

解答： 解：设三角形三边是连续的三个自然n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，
由正弦定理可得：

n-1

sinα

=

n+1

sin2α

=

n+1

2sinαcosα

，
∴cosα=

n+1

2(n-1)

，
再由余弦定理可得：（n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•cosα=（n+1）²+n²-2（n+1）n•

n+1

2(n-1)

，
化简可得：n²-5n=0，解得：n=5或n=0（舍去），
∴n=5，故三角形的三边长分别为：4，5，6
由海伦公式知p=

a+b+c

2

=

15

2

，S=

p(p-a)(p-b)(p-c)

=

1575 16

=

15 7

4

．
故答案为：

15 7

4

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，海伦公式以及二倍角的正弦函数公式，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题．