Question

12．已知A、B、C为函数y=log_ax（0＜a＜1）的图象上的三点，它们的横坐标分别是t，t+2，t+4（t＞1）．
（1）设△ABC的面积为S，求S=f（t）；
（2）求函数S=f（t）的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意画出图象并求出A、B、C点的坐标，过A，B，C分别作AE、BF、CN垂直于x轴，垂足为E、F、N，
由图象、梯形的面积公式表示出△ABC的面积S_△ABC，并利用对数的运算性质化简；
（2）由t＞1和配方法化简t（t+4）并求出它的范围，再求出$\frac{1}{t（t+4）}$的范围和（t+2）²，代入S_△ABC利用分离常数法化简，由a的范围、对数函数的性质求出函数S=f（t）的值域．

解答 解：（1）如图：
A、B、C为函数y=log_ax（0＜a＜1）的图象上的三点，
由题意得它们的横坐标分别是t，t+2，t+4，
∴A（t，log_at），B（t+2，log_a（t+2）），C（t+4，log_a（t+4）），
过A，B，C分别作AE、BF、CN垂直于x轴，垂足为E、F、N，
由图象可得，△ABC的面积S_△ABC
=S_梯形ABFE+S_梯形BCNF-S_梯形ACNE．
∵${S_{ABFE}}=-\frac{1}{2}[{{{log}_a}t+{{log}_a}（t+2）}]•[{（t+2）-t}]=-{log_a}[{t（t+2）}]$，${S_{BCNF}}=-\frac{1}{2}[{{{log}_a}（t+4）+{{log}_a}（t+2）}]•[{（t+4）-（t+2）}]=-{log_a}[{（t+4）（t+2）}]$，${S}_{ACNE}=-\frac{1}{2}[{log}_{a}t+{log}_{a}（t+4）]•[（t+4）-t]=-2lo{g}_{a}[t（t+4）]$，
∴S=f（t）=S_梯形ABFE+S_梯形BCNF-S_梯形ACNE
=-log_a[t（t+2）]-log_a[（t+4）（t+2）]+2log_a[t（t+4）]
=$-lo{g}_{a}\frac{{（t+2）}^{2}}{t（t+4）}（t＞1）$
（2）由于当t＞1时，t（t+4）=（t+2）²-4＞5，
则$0＜\frac{1}{t（t+4）}＜\frac{1}{5}$，且（t+2）²=t（t+4）+4，
所以$\frac{{（t+2）}^{2}}{t（t+4）}$=$\frac{t（t+4）+4}{t（t+4）}$=1+$\frac{4}{t（t+4）}$，
由$0＜\frac{1}{t（t+4）}＜\frac{1}{5}$得，$0＜\frac{4}{t（t+4）}＜\frac{4}{5}$，
则$1＜1+\frac{1}{t（t+4）}＜\frac{9}{5}$，所以$1＜\frac{{{{（t+2）}^2}}}{t（t+4）}＜\frac{9}{5}$，
因为0＜a＜1，所以$lo{g}_{a}^{\frac{9}{5}}＜lo{g}_{a}\frac{{（t+2）}^{2}}{t（t+4）}＜0$，
即$0＜-lo{g}_{a}\frac{{（t+2）}^{2}}{t（t+4）}＜-lo{g}_{a}^{\frac{9}{5}}$，
所以S=f（t）的值域为$（0，-{log_a}\frac{9}{5}）$．

点评 本题考查了对数函数的图象以及性质，对数的运算性质，图象的面积表示，以及分离常数法、整体思想，数形结合思想，属于中档题．