Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，直线AB过圆心O，交圆O于A，B两点，直线AF交圆O于F，（F不与B重合），直线l与圆O相切于点C，交AB的延长线于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．
（Ⅰ）求证：∠BAC=∠CAG；
（Ⅱ）求证：AC²=AE•AF．

Answer 1

（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解：（Ⅰ）连接BC，∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠AGC=90°．…（2分）
∵CG切圆O于点C，∴∠GCA=∠ABC．…（4分）
∴∠BAC=∠CAG．…（5分）
（Ⅱ）连接CF，∵EC切圆O于点C，
∴∠ACE=∠AFC．…（6分）
又∵∠BAC=∠CAG，
∴△ACF∽△AEC，…（8分）
∴，
∴AC²=AE•AF．…（10分）
分析：（Ⅰ）连接BC，由AB为直径，知∠ACB=90°，所以∠ACB=∠AGC=90°由此能够证明∠BAC=∠CAG．
（Ⅱ）连接CF，由EC切圆O于点C，知∠ACE=∠AFC．由∠BAC=∠CAG，知△ACF∽△AEC．由此能够证明AC²=AE•AF．
点评：本题考查与圆有关的比例线段的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．