Question

设有数列{a_n}，若存在M＞0，使得对一切自然数n，都有|a_n|＜M成立，则称数列{a_n}有界，下列结论中：
①数列{a_n}中，a_n=

1

n

，则数列{a_n}有界；
②等差数列一定不会有界；
③若等比数列{a_n}的公比满足0＜q＜1，则{a_n}有界；
④等比数列{a_n}的公比满足0＜q＜1，前n项和记为S_n，则{S_n}有界．
其中一定正确的结论有

①③④

．

Answer 1

分析：①数列{a_n}中，a_n=

1

n

，存在M=1＞0，使得对一切自然数n，都有|a_n|＜1成立；
②等差数列，若为常数列，则有界；
③若等比数列{a_n}的通项为a_n=a1qn-1，根据公比满足0＜q＜1，可得|a_n|＜a₁；
④等比数列{a_n}的前n项和S_n=

a1

1-q

(1-qn)，根据公比满足0＜q＜1，可得|S_n|＜

a1

1-q

．

解答：解：①数列{a_n}中，a_n=

1

n

，存在M=1＞0，使得对一切自然数n，都有|a_n|＜1成立，故数列{a_n}有界，故命题正确；
②等差数列，若为常数列，则有界，故命题不正确；
③若等比数列{a_n}的通项为a_n=a1qn-1，∵公比满足0＜q＜1，∴|a_n|＜a₁，∴{a_n}有界，故命题正确；
④等比数列{a_n}的前n项和S_n=

a1

1-q

(1-qn)，∵公比满足0＜q＜1，∴|S_n|＜

a1

1-q

，∴{S_n}有界，故命题正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查命题真假的判断，考查数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．