Question

已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y²-2y+3）+f（x²-4x+1）≤0，则当y≥l时，

y

x+1

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和

y

x+1

的几何意义即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=x+sinx（x∈R），
∴f（-x）=-x-sinx=-（x+sinx）=-f（x），
即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数，
∵f（y²-2y+3）+f（x²-4x+1）≤0，
∴f（y²-2y+3）≤-f（x²-4x+1）=f[-（x²-4x+1）]，
由f'（x）=1-cosx≥0，
∴函数单调递增．
∴（y²-2y+3）≤-（x²-4x+1），
即（y²-2y+3）+（x²-4x+1）≤0，
∴（y-1）²+（x-2）²≤1，
∵y≥1，
∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．

y

x+1

的几何意义为动点P（x，y）到定点A（-1，0）的斜率的取值范围．
设k=

y

x+1

，（k＞0）
则y=kx+k，即kx-y+k=0．
当直线和圆相切是，圆心到直线的距离d=

|2k-1+k|

1+k2

=

|3k-1|

1+k2

=1，
即8k²-6k=0，解得k=

3

4

．此时直线斜率最大．
当直线kx-y+k=0．经过点B（3，1）时，直线斜率最小，
此时3k-1+k=0，即4k=1，解得k=

1

4

，
∴

1

4

≤k≤

3

4

，
故答案为[

1

4

，

3

4

]．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，函数奇偶性和单调性的判断以及直线斜率的取值范围，综合性较强，运算量较大，利用数形结合是解决本题的基本思想．