Question

12．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d=2，S₁₀=120．
（1）求a_n；
（2）若b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}+\sqrt{{a}_{n}}}$，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）通过公差d=2可知S₁₀=10a₁+$\frac{10×9}{2}$×2=120，进而可知数列{a_n}是以3为首项、2为公差的等差数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知a_n=2n+1，通过分母有理化、裂项可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+3}$-$\sqrt{2n+1}$），并项相加即得结论．

解答 解：（1）依题意，S₁₀=10a₁+$\frac{10×9}{2}$×2=120，
解得：a₁=3，
∴数列{a_n}是以3为首项、2为公差的等差数列，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（2）由（1）可知a_n=2n+1，
∴b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}+\sqrt{{a}_{n}}}$
=$\frac{1}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n+1}}$
=$\frac{\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n+1}}{（\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n+1}）（\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n+1}）}$
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+3}$-$\sqrt{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$+…+$\sqrt{2n+3}$-$\sqrt{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+3}$-$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查数列的通项与求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．