Question

11．已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+3×2ⁿ，a₁=2，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过将等式a_n+1=2a_n+3•2ⁿ两边同时除以2ⁿ⁺¹、化简可知数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项、$\frac{3}{2}$为公差的等差数列，进而计算可得结论．

解答 解：∵a_n+1=2a_n+3•2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}+3•{2}^{n}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+$\frac{3}{2}$，
又∵$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=$\frac{2}{2}$=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项、$\frac{3}{2}$为公差的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+$\frac{3}{2}$（n-1）=$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$，
∴a_n=（$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$）•2ⁿ=（3n-1）•2^n-1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=（3n-1）•2^n-1．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．