【题目】定义变换将平面内的点变换到平面内的点;若曲线经变换后得到曲线,曲线经变换后得到曲线,…,依次类推,曲线经变换后得到曲线,当时,记曲线与、轴正半轴的交点为和,某同学研究后认为曲线具有如下性质:①对任意的,曲线都关于原点对称;②对任意的,曲线恒过点;③对任意的,曲线均在矩形(含边界)的内部,其中的坐标为;④记矩形的面积为,则;其中所有正确结论的序号是_______.
【答案】③④
【解析】
在曲线上任取一点,经变换后得到曲线上的点,…….依次类推,经变换后得到曲线上的点,根据变换得: ,两边取对数,得到
所以分别以为首项,以 为公比的等比数列,从而得到,再根据代入法求轨迹方程,得到 ,然后再对四个命题逐一讨论,进而得到正确的结论.
在曲线上任取一点
经变换后得到曲线上的点,
曲线经变换后得到曲线上的点,
依次类推,曲线上的点,
经变换后得到曲线上的点,
根据题意得: ,
所以
即
所以分别以为首项,以 为公比的等比数列.
所以
所以
又因为点在曲线上
所以
①点不适合,所以曲线不关于原点对称;故错误.
②令 所以曲线不过点;故错误.
③令得,令 ,得,
因为,所以,
同理所以对任意的,曲线均在矩形(含边界)的内部,其中的坐标为;故正确.
④记矩形的面积为,则,
故,故正确.
综上:③④正确
故答案为:③④
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【题目】已知椭圆:()的离心率为,设直线过椭圆的上顶点和右顶点,坐标原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程.
(2)过点且斜率不为零的直线交椭圆于,两点,在轴的正半轴上是否存在定点,使得直线,的斜率之积为非零的常数?若存在,求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为20米,圆O的半径为1米,圆心足正方形的中心,点P、Q分别在线段AD、CB上,若线段PQ与圆O有公共点,则称点Q在点P的“盲区”中. 已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动,同时,点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动,则点P从A移动到D的过程中,点Q在点P的育区中的时长约为________秒(精确到0.1)
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【题目】已知双曲线 的两条渐近线与抛物线的准线分别交于,两点.若双曲线的离心率为,的面积为,为坐标原点,则抛物线的焦点坐标为 ( )
A. B. C. D.
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【题目】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点A关于平面BDC1对称点为M,则M到平面A1B1C1D1的距离为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)的长轴长为4,离心率为.
(1)求椭圆Γ的标准方程;
(2)过P(1,0)作动直线AB交椭圆Γ于A,B两点,Q(4,3)为平面上一定点连接QA,QB,设直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,问k1+k2是否为定值,如果是,则求出该定值;否则,说明理由.
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【题目】如图,在以P为顶点的圆锥中,母线长为,底面圆的直径AB长为2,O为圆心.C是圆O所在平面上一点,且AC与圆O相切.连接BC交圆于点D,连接PD,PC,E是PC的中点,连接OE,ED.
(1)求证:平面平面PAC;
(2)若二面角的大小为,求面PAC与面DOE所成锐二面角的余弦值.
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【题目】已知为抛物线:的焦点,过的动直线交抛物线于,两点.当直线与轴垂直时,.
(1)求抛物线的方程;
(2)设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点,抛物线上存在点使得直线,,的斜率成等差数列,求点的坐标.
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