Question

（2012•东城区模拟）已知顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴的抛物线上有一点A(

1

2

，m)，A点到抛物线焦点的距离为1．
（1）求该抛物线的方程；
（2）设M（x₀，y₀）为抛物线上的一个定点，过M作抛物线的两条互相垂直的弦MP，MQ，求证：PQ恒过定点（x₀+2，-y₀）．
（3）直线x+my+1=0与抛物线交于E，F两点，在抛物线上是否存在点N，使得△NEF为以EF为斜边的直角三角形．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线的定义即可得出；
（2）由题意知直线PQ与x轴不平行，设PQ所在直线方程为x=my+n，代入y²=2x中得 y²-2my-2n=0．利用根与系数的关系及斜率计算公式即可证明；
（3）利用（2）的结论，只要定点满足△≥0即可．

解答：解：（1）由题意可设抛物线的方程为y²=2px，则由抛物线的定义可得

p

2

+

1

2

=1，即p=1，
所以抛物线的方程为 y²=2x．
（2）由题意知直线PQ与x轴不平行，设PQ所在直线方程为x=my+n，代入y²=2x中得 y²-2my-2n=0．
所以y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2n，其中y₁，y₂分别是P，Q的纵坐标，
因为MP⊥MQ，所以k_MP•k_MQ=-1．
即

y1-y0

x1-x0

•

y2-y0

x2-x0

=-1，所以（y₁+y₀）（y₂+y₀）=-4．
y1•y2+(y1+y2)y0+y02+4=0，（-2n）+2my₀+2x₀+4=0，即n=my₀+x₀+2．
所以直线PQ的方程为x=my+my₀+x₀+2，
即x=m（y+y₀）+x₀+2，它一定过定点（x₀+2，-y₀）．
（3）假设N（x₀，y₀）为满足条件的点，则由（2）知，点（x₀+2，-y₀）在直线x+my+1=0上，
所以x0+2-my0+1=0，(x0，y0)是方程组

y2=2x x-my+3=0

的解，
消去x得y²-2my+6=0，△=4m²-24≥0所以存在点N满足条件．

点评：本题综合考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、斜率的计算公式、直线过定点问题等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．